Quando in verifica leggi un esercizio come “Un terzo di un numero è uguale a 9”, il primo istinto è spesso quello di ricorrere a un’equazione complicata. Eppure esiste un metodo molto più rapido e logico che non solo risolve il problema in pochi secondi, ma insegna davvero come ragionare con le frazioni. Il segreto non è una formula magica, ma una semplice comprensione di ciò che accade dietro le quinte di una frase matematica.
Una frazione di un numero uguale a 9 significa che stai cercando il valore intero partendo da una sua parte. Per trovarlo, basta ribaltare l’operazione che hai fatto per ottenere quella frazione. Se un terzo di un numero è 9, allora il numero intero è 9 moltiplicato per il denominatore della frazione, cioè 27. Il metodo è sempre lo stesso, che la frazione sia semplice o più complessa.
Cosa significa realmente “frazione di un numero”
Per utilizzare il trucco in modo consapevole, devi prima capire cosa si nasconde dietro questa espressione. Una frazione rappresenta una divisione: quando scrivi (\frac{a}{b}), stai indicando (a : b). Quando dici “(\frac{1}{3}) di 27”, non stai facendo altro che dividere 27 per 3, che dà 9.
Esempi di base chiariscono subito il concetto:
- (\frac{1}{2}) di 20 = 20 diviso 2 = 10
- (\frac{1}{4}) di 12 = 12 diviso 4 = 3
- (\frac{1}{5}) di 25 = 25 diviso 5 = 5
Quando estendi questo a frazioni con numeratore diverso da 1, il principio diventa: “(\frac{p}{q}) di un numero” significa moltiplicare quel numero per la frazione stessa. Quindi se cerchi il numero intero e conosci il risultato della frazione, devi applicare l’operazione inversa della moltiplicazione, cioè la divisione… o meglio, moltiplicare per la frazione ribaltata.
Perché il trucco funziona davvero
La logica è semplicissima se la guardi dal punto di vista delle operazioni inverse. Se (\frac{1}{3}) di un numero è 9, allora stai risolvendo questa equazione: numero diviso 3 = 9. Per trovare il numero, inverti l’operazione: 9 moltiplicato per 3 = 27.
Lo stesso ragionamento si applica a qualsiasi frazione con numeratore 1:
- “(\frac{1}{5}) di un numero è 9” → numero diviso 5 = 9 → numero = 9 × 5 = 45
- “(\frac{1}{4}) di un numero è 9” → numero diviso 4 = 9 → numero = 9 × 4 = 36
Non stai indovinando nulla: stai semplicemente invertendo una divisione ricorrendo alla moltiplicazione. Quando la frazione non è una “unità” (cioè il numeratore non è 1), il principio rimane identico, ma serve un passaggio in più.
Il metodo operativo: dalla teoria alla pratica
Esiste una ricetta che funziona sempre. Iniziamo dai casi più semplici.
Caso A: frazioni con numeratore 1 (un mezzo, un terzo, un quarto, un settimo…)
La regola è: se (\frac{1}{n}) di un numero è 9, il numero intero è 9 moltiplicato per n. Esempi:
- (\frac{1}{7}) di un numero è 9 → numero = 9 × 7 = 63
- (\frac{1}{9}) di un numero è 9 → numero = 9 × 9 = 81
Caso B: frazioni con numeratore diverso da 1
Qui il procedimento è leggermente più articolato. Se (\frac{a}{b}) di un numero è 9, applica questi passi:
- Moltiplica 9 per il denominatore (b)
- Dividi il risultato per il numeratore (a)
In formula pratica: numero = (9 × \frac{b}{a})
Esempi:
- “(\frac{3}{4}) di un numero è 9” → numero = 9 × 4 ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12
- “(\frac{2}{5}) di un numero è 9” → numero = 9 × 5 ÷ 2 = 45 ÷ 2 = 22,5
Il trucco centrale è ribaltare la frazione: anziché moltiplicare per (\frac{a}{b}), moltiplichi per (\frac{b}{a}).
Errori comuni e come evitarli
Gli sbagli avvengono spesso per fretta. Il più tipico è confondere numeratore e denominatore. Scrivi sempre l’equazione di partenza per non perdere il filo logico: (\frac{a}{b} × \text{numero} = 9).
Un altro errore frequente è dimenticare che se la frazione è minore di 1, il numero intero deve essere più grande di 9. Se ottieni un risultato più piccolo di 9, sai subito che hai sbagliato.
Un check rapido: chiedi a te stesso se il risultato ha senso. Se (\frac{1}{3}) di un numero è 9, il numero deve essere almeno tre volte 9. Se trovi qualcosa di diverso, hai commesso un errore.
Pratica veloce: esercizi mentali
Prova a risolvere questi casi applicando i passi che hai appena imparato:
- (\frac{1}{9}) di un numero è 9 → il numero è 9 × 9 = 81
- (\frac{3}{7}) di un numero è 9 → il numero è 9 × 7 ÷ 3 = 21
- (\frac{5}{6}) di un numero è 9 → il numero è 9 × 6 ÷ 5 = 10,8
Lo stesso metodo funziona se al posto di 9 hai qualsiasi altro numero: 12, 20, 100. Una volta automatizzato il processo, questi esercizi diventano quasi istantanei.
Dal problema al controllo totale
Riprendiamo la scena iniziale: sei in verifica e leggi “una frazione di un numero è uguale a 9”. Non è più una trappola, è un’occasione.
La frazione di un numero significa moltiplicazione. Per trovare l’intero, inverti l’operazione. Se la frazione è (\frac{1}{n}), moltiplica 9 per n. Se è (\frac{a}{b}), fai 9 moltiplicato per (\frac{b}{a}). Con il metodo ormai chiaro, il prossimo esercizio del genere lo risolverai in pochi secondi, lasciando stupiti compagni e insegnanti.
